Question

13．關(guān)于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ+ysinθ=2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$（θ∈[0，π]）有解，則θ的取值范圍是$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$．

Answer 1

分析 原點(diǎn)O（0，0）到直線xcosθ+ysinθ=2的距離d=2，可得：直線xcosθ+ysinθ=2是圓：x²+y²=4的切線，（y≥0）．方程x²+3y²=6，化為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．由圓的性質(zhì)可得：$xcos\frac{π}{4}+ysin\frac{π}{4}=2$，$xcos\frac{3π}{4}$+y$sin\frac{3π}{4}$=2，為半圓的x²+y²=4（y≥0）的切線．同時(shí)可得：上述兩條直線也為橢圓的切線．結(jié)合圖象及其斜率的意義即可得出．

解答 解：∵原點(diǎn)O（0，0）到直線xcosθ+ysinθ=2的距離d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=2，
∴直線xcosθ+ysinθ=2是圓：x²+y²=4的切線，（y≥0）．
方程x²+3y²=6，化為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
由圓的性質(zhì)可得：$xcos\frac{π}{4}+ysin\frac{π}{4}=2$，$xcos\frac{3π}{4}$+y$sin\frac{3π}{4}$=2，為半圓的x²+y²=4的切線．
同時(shí)可得：上述兩條直線也為橢圓的切線．
因此可得：當(dāng)θ∈$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$時(shí)，直線與橢圓有交點(diǎn)，即方程組有解．
故答案為：$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線、直線與曲線相交問(wèn)題、斜率的意義，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．