Question

4．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=At^n-1+Bn+1，其中A，B，t為常數(shù)，且t＞1，n∈n⁺，等式（x²+2x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=1，2，3…，20）為實(shí)常數(shù)．
（1）若A=0，B=1，求$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_n．
（2）若A=1，B=0，且$\sum_{n=1}^{10}$（2a_n-2ⁿ）b_2n=2¹¹-2，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式展開定理比較可知b_2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），b_2n-1=0（n=0，1，2，…，10），進(jìn)而T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，利用倒序相加法、化簡(jiǎn)可知T=5•2¹⁰，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論、化簡(jiǎn)可知$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$-3¹⁰+1=0，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）（x²+x+2）¹⁰=[1+（x+1）²]¹⁰
=${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$（x+1）²+${C}_{10}^{2}$（x+1）⁴+…+${C}_{10}^{10}$（x+1）²⁰
=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，
比較可知：b_2n=${C}_{10}^{n}$（n=0，1，2，…，10），
b_2n-1=0（n=0，1，2，…，10），
而A=0、B=1時(shí)，a_n=At^n-1+Bn+1=n+1，
∴$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_n=$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n=（n+1）${C}_{10}^{n}$=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$，
記T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=0•${C}_{10}^{0}$+1•${C}_{10}^{1}$+2•${C}_{10}^{2}$+…+10•${C}_{10}^{10}$，
另外也可寫成T=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$=10•${C}_{10}^{10}$+…+2•${C}_{10}^{2}$+1•${C}_{10}^{1}$+0•${C}_{10}^{0}$，
兩式相加得：2T=10•${C}_{10}^{10}$+…+10•${C}_{10}^{2}$+10•${C}_{10}^{1}$+10•${C}_{10}^{0}$
=10•（${C}_{10}^{10}$+…+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$）
=10•2¹⁰，
即T=5•2¹⁰，
∴$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_n=$\sum_{n=1}^{10}$n${C}_{10}^{n}$+$\sum_{n=1}^{10}$${C}_{10}^{n}$=5•2¹⁰+2¹⁰-1=6143；
（2）當(dāng)A=1、B=0時(shí)，a_n=At^n-1+Bn+1=t^n-1+1，
結(jié)合（1）中結(jié)論可知：$\sum_{n=1}^{10}$（2a_n-2ⁿ）b_2n=2$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n-$\sum_{n=1}^{10}$2ⁿb_2n
=2$\sum_{n=1}^{10}$a_nb_2n-$\sum_{n=1}^{10}$2ⁿb_2n …①
=2[$\frac{1}{t}$（1+t）¹⁰-1+2¹⁰-1]-[（1+2）¹⁰-1]
=$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$+2¹¹-2-3¹⁰+1
=2¹¹-2，
即$\frac{2}{t}$（1+t）¹⁰-$\frac{2}{t}$-3¹⁰+1=0，…②
∵①為關(guān)于t的遞增的式子，
∴關(guān)于t的方程最多只有一解，
而觀察②可知，有一解t=2，
綜上可知：t=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤，注意解題方法的積累，屬于中檔題．