Question

8．若函數(shù)y=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0），兩相鄰點最高點與最低點的距離為$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，兩相鄰最高點的橫坐標(biāo)相差π，求這個函數(shù)的振幅、周期、對稱軸、對稱中心及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)兩相鄰點最高點與最低點的距離為$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，可得橫坐標(biāo)之間的長度為$\frac{1}{2}$T，縱坐標(biāo)的距離為2A．
兩相鄰最高點的橫坐標(biāo)相差π，可得周期T為π．求出A和ω，可得f（x）解析式．即可求出振幅、周期、對稱軸、對稱中心及單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)y=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0），兩相鄰點最高點與最低點的距離為$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，
可得橫坐標(biāo)之間的長度為$\frac{1}{2}$T，縱坐標(biāo)的距離為2A．
根據(jù)勾股定理可得：$\frac{{π}^{2}}{4}+16=\frac{{T}^{2}}{4}+4{A}^{2}$…①．
兩相鄰最高點的橫坐標(biāo)相差π，可得周期T=π=$\frac{2π}{ω}$…②，帶入①式可得：A=2．
由②可得：ω=2．
∴f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）．
故得振幅為2、周期T為π、
對稱軸方程為2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴對稱軸x=$\frac{π}{6}+\frac{1}{2}kπ$、k∈Z，
由對稱中心橫坐標(biāo)2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴對稱中心坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，0）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$
∴單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z，

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于中檔題．