Question

8．已知O為原點，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為E，上頂點為F，過橢圓C的右焦點作x軸的垂線交直線EF于點D，若直線OD斜率是直線EF的斜率的$\sqrt{2}$+1倍．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C的焦距為2$\sqrt{2}$，設M（x₀，y₀）為橢圓C上的動點，A（-2$\sqrt{2}$，0），直線AM與橢圓交于另一點P，且$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AP}$，試探討是否存在實數(shù)m，使得mx₀-λ為定值？若存在，求出m的值及此定值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）寫出EF所在直線方程，得到D的坐標，由斜率關系即可求得橢圓離心率；
（2）由（1）中所求橢圓離心率及焦距求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求，設出P得坐標，由向量等式把M的坐標用P得坐標表示，再由M在橢圓上可得等式$\sqrt{2}{x}_{0}-λ=-3$，即存在實數(shù)m=$\sqrt{2}$，使得mx₀-λ為定值-3．

解答 解：（1）直線EF的方程為y=$\frac{a}（x+a）$，將x=c代入得點D（c，b+$\frac{bc}{a}$），
則直線OD的斜率為$\frac{b+\frac{bc}{a}}{c}=（\sqrt{2}+1）×\frac{a}$，可得a=$\sqrt{2}c$，則e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又2c=2$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，a=2，則b²=a²-c²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
設P（x₁，y₁），則$\overrightarrow{AM}=（{x}_{0}+2\sqrt{2}，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}+2\sqrt{2}，{y}_{1}）$，
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+2\sqrt{2}=λ（{x}_{1}+2\sqrt{2}）}\\{{y}_{0}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，
從而$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=λ{x}_{1}+2\sqrt{2}（λ-1）}\\{{y}_{0}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，∴$\frac{[λ{x}_{1}+2\sqrt{2}（λ-1）]^{2}}{4}+\frac{（λ{y}_{1}）^{2}}{2}=1$，
即${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}）+4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+8（λ-1）^{2}-4=0$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4$，代入得$4{λ}^{2}+4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+8（λ-1）^{2}-4=0$．
即$4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+4（λ-1）（3λ-1）=0$．
由題意知，λ≠1．
故${x}_{1}=-\frac{3λ-1}{\sqrt{2}λ}$，∴${x}_{0}=\frac{1+λ}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}{x}_{0}-λ=-3$．
故存在實數(shù)m=$\sqrt{2}$，使得mx₀-λ為定值-3．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現(xiàn)了整體運算思想方法，是中檔題．