Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n．
（1）如果數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且對一切正整數(shù)n，滿足$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）如果數(shù)列{a_n}對一切正整數(shù)n，滿足$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，令n=1，求出a₂=2即可．
（2）利用累積法先求出S_n的表達式，即可．
（3）利用構(gòu)造法構(gòu)造一個等比數(shù)列，進行求解即可．

解答 解：（1）如果數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且對一切正整數(shù)n，滿足$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，
則當(dāng)n=1時，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}=\frac{1+{a}_{2}}{1}=\frac{6}{2}=3$，即a₂=2，
公差d=a₂-a₁=2-1=1，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=1+n-1=n；
（2）如果數(shù)列{a_n}對一切正整數(shù)n，滿足$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
則$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$=$\frac{5}{3}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
等式兩邊同時相乘得$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{4}}{{S}_{3}}$…$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×…×$\frac{n+1}{n-1}$，
即$\frac{{S}_{n}}{{S}_{1}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，即S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
則當(dāng)n≥2是，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
當(dāng)n=1時，a₁=1也滿足a_n=n，
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+1，
則a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
即數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比q=3的等比數(shù)列，首項為a₁+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1=$\frac{1}{2}$•3ⁿ，∴a_n=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•3ⁿ．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)條件，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)以及累積法，構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．