Question

16．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤a\\ y≥1\end{array}\right.$．若a=4，則z=2x+y的最大值為7；若不等式組所表示的平面區(qū)域面積為4，則a=6．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．結(jié)合不等式組的圖形，根據(jù)面積即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)a=4時(shí)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×3+1=7．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7．
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
若不等式組構(gòu)成平面區(qū)域，則必有點(diǎn)A在直線x+y=a的下方，
即滿足不等式x+y＜a，
即a＞1+1=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（a-1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}}\\{y=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}×$（a-1-1）×（$\frac{a}{2}$-1）=$\frac{1}{4}$（a-2）²=4，
即（a-2）²=16，
即a-2=4或a-2=-4，
解得a=6或a=-2（舍），
故答案為：7，6

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．