Question

12．如圖，橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與拋物線C₂：x²=4y有公共的焦點F．點A為橢圓C₁與拋物線C₂準(zhǔn)線的交點之一，過A向拋物線C₂引切線AB，切點為B，且點A，B都在y軸的右側(cè)．
（Ⅰ）證明：FA⊥FB；
（Ⅱ）證明：直線AB是橢圓C₁的切線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意易得焦點準(zhǔn)線，利用導(dǎo)數(shù)求斜率得出a，b，x₀得關(guān)系式，再利用數(shù)量積得證．
（Ⅱ）利用判別式法計算量太大，由斜率相等得出恒成立條件得證．

解答 解：（Ⅰ）證明：由題意得，F(xiàn)（0，1），c=1，a²-b²=1，準(zhǔn)線y=-1，$A（\frac{^{2}}{a}，-1）$．
由x²=4y，得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，${y}^{′}=\frac{x}{2}$，
設(shè)點B$（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，則直線AB斜率k=$\frac{{x}_{o}}{2}$=$\frac{\frac{{x}_{0}}{4}+1}{{x}_{0}-\frac{^{2}}{a}}$，得$\frac{^{2}}{a}=\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{2}{{x}_{0}}$，
∵$\overrightarrow{FA}=（\frac{^{2}}{a}，-2）$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-1）$，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{2}{{x}_{0}}）{x}_{0}-2（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-1）$=0，
∴FA⊥FB．
（Ⅱ）證明：根據(jù)拋物線的定義，點B到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離得${x}_{0}-\frac{^{2}}{a}=\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}+4}$，所以${x}_{0}=\frac{^{2}}{a}+\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}+4}$
由$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，$y=\frac{a\sqrt{^{2}-{x}^{2}}}$，$y′=\frac{ax}{b\sqrt{^{2}-{x}^{2}}}$，
把$x=\frac{^{2}}{a}$代入y′=a，
若直線AB是橢圓C₁的切線，則有$\frac{{x}_{0}}{2}=a$恒成立，即$\frac{\frac{^{2}}{a}+\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}+4}}{2}=a$，化簡得a²-b²=1．
∴直線AB是橢圓C₁的切線．

點評 熟練掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)、直線與圓錐曲線的相交問題是解題的關(guān)鍵．本題需要較強的計算能力，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．