Question

18．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變化求得函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的周期性求出函數(shù)的周期．
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)f（x），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為 $\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2；
當(dāng) 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．