Question

已知不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²對滿足x+y+z=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²恒成立，只要|a-2||≤（x²+2y²+3z²）_min，利用柯西不等式求出x²+2y²+3z²的最小值，再解關(guān)于a的絕對值不等式即可．

解答： 解：因?yàn)橐阎獂，y，z是實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，
根據(jù)柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（x²+2y²+3z²）（1+

1

2

+

1

3

）≥（x+y+z）²
故x²+2y²+3z²≥

6

11

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

11

，y=

3

11

，z=

2

11

時(shí)取等號，
∵不等式|a-2|≤x²+2y²+3z²對滿足x+y+z=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z都成立，
∴|a-2|≤

6

11

，
∴

16

11

≤a≤

28

11

．

點(diǎn)評：本題主要考查了柯西不等式求解最值的應(yīng)用及函數(shù)的恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．