Question

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4

2

sin（θ+

π

4

）．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y=-3+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．
（I）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程、曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程帶入到圓C，利用韋達(dá)定理以及直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義求得|PA|•|PB|的值

解答： （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程即 ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)=4sinθ+4cosθ，
所以ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x²+y²-4x-4y=0，即（x-2）²+（y-2）²=8．
把直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y=-3+ 3 2 t

（t為參數(shù)）消去參數(shù)，
化為普通方程為：

3

x-y+2

3

-3=0．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程帶入到圓C：x²+y²-4x-4y=0，
得t2-(4+5

3

)t+33=0，∴t1，2=

4+5 3 ± 40 3 -41

2

，∴t₁t₂=33．
因?yàn)辄c(diǎn)P（-2，-3）顯然在直線l上，由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程下t的幾何意義知|PA||PB|=|t₁t₂|=33，
所以|PA||PB|=33．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．