Question

1．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底邊長為2，E、F分別為BB₁，AB的中點(diǎn)，設(shè)$\frac{A{A}_{1}}{AB}$=λ．
（Ⅰ）求證：平面A₁CF⊥平面A₁EF；
（Ⅱ）若二面角F-EA₁-C的平面角為$\frac{π}{3}$，求實(shí)數(shù)λ的值，并判斷此時(shí)二面角E-CF-A₁是否為直二面角，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明CF⊥平面A₁EF，即可證明：平面A₁CF⊥平面A₁EF；
（Ⅱ）如圖，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{FC}$方向?yàn)閤軸，y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由定義則∠EFA₁為二面角E-CF-A₁的平面角，即可得出結(jié)論．

解答 （I）證明：因?yàn)檎�三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥平面ABC．所以AA₁⊥CF，
又△ABC是正三角形，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，所以CF⊥AB，故CF⊥平面A₁EF，
又CF?平面A₁CF，所以平面A₁CF⊥平面A₁EF．…（5分）
（II）解：如圖，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{FC}$方向?yàn)閤軸，y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意AA₁=2λ．則F（0，0，0），A₁（-1，0，2λ），E（1，0，λ），C（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{EC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-λ），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，0，-λ）…（6分）
設(shè)平面EA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y-λz=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，則$\overrightarrow{n}$=（$λ，\sqrt{3}λ，2$）…（8分）
由（1）可知$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，0）為平面A₁EF的一個(gè)法向量，
故cos$\frac{π}{3}$=$\frac{3λ}{\sqrt{4{λ}^{2}+4}•\sqrt{3}}$，計(jì)算可得：λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（9分）
由（1）可知EF⊥CF，A₁F⊥CF，
由定義則∠EFA₁為二面角E-CF-A₁的平面角，…（10分）
此時(shí)由勾股定理：EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，A₁F=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，…（11分）
滿足EF²+A₁F²=AE²，則∠EFA₁=$\frac{π}{2}$，
此時(shí)二面角E-CF-A₁為直二面角…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的判定，考查二面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．