Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)，求出切線的斜率，得到切線方程，代入原點(diǎn)即可；
（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)不單調(diào)，則只需f′（x）的函數(shù)值在（0，1）內(nèi)，有正有負(fù)．令g（x）=1+lnx+2ax，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論a≥-

1

2

，a＜-

1

2

，即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx+ax²，
則f′（x）=1+lnx+2ax，f′（1）=1+2a，f（1）=a，
∴切線方程為y-a=（1+2a）（x-1），
由題意知，-a=（1+2a）•（-1），解得a=-1．
（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)不單調(diào)，
則只需f′（x）的函數(shù)值在（0，1）內(nèi)，有正有負(fù)．
令g（x）=1+lnx+2ax，則g′（x）=

1

x

+2a，
而x∈（0，1），

1

x

＞1．
當(dāng)2a≥-1，即a≥-

1

2

，g′（x）＞0，
g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又x→0，g（x）→-∞，
∴只需g（1）=1+2a＞0，即a＞-

1

2

，∴a＞-

1

2

，
當(dāng)2a＜-1，即a＜-

1

2

，g（x）在（0，-

1

2a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

2a

，1）上單調(diào)遞減，
∴只需g（-

1

2a

）＞0，即ln（-

1

2a

）＞0，∴a＞-

1

2

矛盾，舍去，
綜上，a＞-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，屬于中檔題．