Question

14．在如圖所示三棱錐D-ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別在BD，BC，且BE=2ED，BC=2BF．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面AEF將三棱錐D-ABC分成兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明BC⊥AD；
（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式分別求出兩部分的幾何體積，即可求平面AEF將三棱錐D-ABC分成兩部分的體積之比．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD=CD=2，∠BAC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
取AC的中點(diǎn)O，連接OD，
則OD⊥AC，
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，
則OD⊥BC，
∵AD=CD=2，∠BAC=45°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，∵AB=4，∠BAC=45°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
即△ACB是直角三角形，
則BC⊥AC，
∵OD∩AC=0，
∴BC⊥平面ACD，
∵AD?平面ACD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得OD=$\sqrt{2}$，
過(guò)E作EH⊥平面ABC，
則$\frac{EH}{OD}$=$\frac{BE}{BD}$，
∵BE=2ED，∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
則$\frac{EH}{OD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
則EH=$\frac{2}{3}$OD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵BC=2BF．
∴F是BC的中點(diǎn)，則BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
則△AEF的面積S=$\frac{1}{2}×$BF•AC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2，
則大三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC•BC•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
三棱錐E-ABF的體積V=$\frac{1}{3}×2×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
則另外一部分的體積V=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{12\sqrt{2}}{9}$-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{8\sqrt{2}}{9}$，
則平面AEF將三棱錐D-ABC分成兩部分的體積之比為$\frac{8\sqrt{2}}{9}$：$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷以及三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．