Question

10．給出下列四個(gè)命題：
①a＞β的充分不必要條件是sinα＞sinβ；
②若a，b∈R，ab＜0，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≤-2；
③已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），若|PA|-|PB|=2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；
④若a≠b，則a³+b³＞a²b+ab²
其中所有真命題的序號(hào)是②．

Answer 1

分析 ①結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
②根據(jù)所給式子的特點(diǎn)，結(jié)合ab＜0，利用不等式求解；
③利用雙曲線的定義直接判斷，注意限制條件即“距離差的絕對(duì)值小于兩定點(diǎn)間的距離”；
④作差，根據(jù)a≠b判斷符號(hào)．

解答 解：對(duì)于①，取α=2π，β=0，由此可見(jiàn)，“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要條件，故①為假；
對(duì)于②，因?yàn)閍b＜0，所以$\frac{a}+\frac{a}=-（-\frac{a}-\frac{a}）≤-2\sqrt{（-\frac{a}）×（\frac{a}）}=-2$，故②為真；
對(duì)于③，因?yàn)閨PA|-|PB|=|AB|=2，所以P點(diǎn)的軌跡是以B為起點(diǎn)，方向?yàn)锳B方向的射線，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由已知可得a³+b³-a²b-ab²=（a-b）²（a+b）（*）．
因?yàn)閍≠b，所以（a-b）²＞0，但a+b的符號(hào)不確定，因此（*）式的符號(hào)不確定，所以未必有原式成立．故④為假．
故答案為②

點(diǎn)評(píng) 命題真假的判斷主要是以概念的考查為主，因此須結(jié)合相關(guān)的概念、定義等來(lái)處理，注意對(duì)條件的準(zhǔn)確理解．