Question

16．已知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}$，a₁=1，求{a_n}通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知的數(shù)列遞推式結(jié)合不動點(diǎn)法可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得{a_n}通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}$，得${a}_{n+1}+1=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}+1=\frac{3（{a}_{n}+1）}{{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}=\frac{1}{{a}_{n}+1}+\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{3}$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{2n+1}{6}$，
則${a}_{n}=\frac{6}{2n+1}-1$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．