【題目】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價格(單位:元/千克)滿足關系式,其中為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品13千克.
(1)求的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大,并求出最大利潤.
【答案】(1)6(2)x=4,46
【解析】
(1)由f(5)=13代入函數(shù)的解析式,解關于a的方程,可得a值;
(2)商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤,可得日銷售量的利潤函數(shù)為關于x的三次多項式函數(shù),再用求導數(shù)的方法討論函數(shù)的單調性,得出函數(shù)的極大值點,從而得出最大值對應的x值.
解:(1)因為x=5時,y=13,所以10=13,故a=6,
(2)由(Ⅰ)可知,該商品每日的銷售量y
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
從而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4)
于是,當x變化時,f(x)、f′(x)的變化情況如下表:
x | (3,4) | 4 | (4,6) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 單調遞增 | 極大值46 | 單調遞減 |
由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點,也是最大值點.
所以,當x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于46
答:當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
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【題目】已知f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又當x2>x1>0時,f(x2)>f(x1).
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值;
(2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范圍.
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【題目】火車站有某公司待運的甲種貨物,乙種貨物,現(xiàn)計劃用A,B兩種型號的貨廂共50節(jié)運送這批貨物,已知35t甲種貨物和15乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂,25t甲種貨物和35乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂,據(jù)此安排A,B兩種貨廂的節(jié)數(shù),共有幾種方案?若每節(jié)A型貨廂的運費是0.5萬元,每節(jié)B型貨用的運費是0.8萬元,哪種方案的運費較少?
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【題目】己知某區(qū)甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)分別為240,160,80.為助力疫情防控,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從這三所學校的教師志愿者中抽取6名教師,參與“抗擊疫情·你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項行動.
(Ⅰ)求應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù);
(Ⅱ)設抽出的6名教師志愿者分別記為,,,,,,現(xiàn)從中隨機抽取2名教師志愿者承擔測試體溫工作.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學校”,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極小值;
(2)設函數(shù),試問:在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等,若存在,請求出的范圍,若不存在,請說明理由?
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【題目】拋擲一個質地均勻的骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知拋物線的焦點為,直線與軸相交于點,與曲線相交于點,且
(1)求拋物線的方程;
(2)過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點,求證點的縱坐標為定值.
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