【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC;
(2)記∠ABC=θ,當(dāng)θ為何值時(shí),△BCD的面積有最小值?求出最小值.
【答案】(1)(2)θ=75°時(shí),面積取最小值.
【解析】
(1)由題意可求∠ADC=120°,在△ACD中,可得∠CAD=90°﹣60°=30°,∠ADC=120°,進(jìn)而由正弦定理解得CD的值.
(2)由題意可得可得∠CAD=30°,可求∠ADC=150°﹣θ,在△ADC中,由正弦定理解得,在△ABC中解得,利用三角形的面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△BCD,結(jié)合范圍0°<θ<150°,可得﹣60°<2θ﹣60°<240°,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
解:(1)在四邊形ABCD中,因?yàn)?/span>AD⊥AB,∠BCD=120°,∠ABC=30°,
所以∠ADC=120°,
在△ACD中,可得∠CAD=90°﹣60°=30°,∠ADC=120°,
AC=2,由正弦定理得:,
解得:.
(2)因?yàn)椤?/span>CAB=60°,AD⊥AB可得∠CAD=30°,
四邊形內(nèi)角和360°得∠ADC=150°﹣θ,
∴在△ADC中,由正弦定理得:,解得:,
在△ABC中,由正弦定理得:,解得,
∴S△BCD
,
∵0°<θ<150°,
∴﹣60°<2θ﹣60°<240°,
∴當(dāng)2θ﹣60°=90°即θ=75°時(shí),S取最小值為.
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【題目】已知函數(shù).下列命題:( )
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; ②函數(shù)是周期函數(shù);
③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
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【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且在軸上截得的弦長為4.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(2)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn),直線為軌跡上在點(diǎn)處的切線,直線交直線于點(diǎn),過點(diǎn)作交軌跡于點(diǎn),求的面積的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,求的方程;
(Ⅱ)若對(duì)于任意恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖所示,某區(qū)有一塊空地,其中,,.當(dāng)?shù)貐^(qū)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn),擬在中間挖一個(gè)人工湖,其中都在邊上,且,挖出的泥土堆放在地帶上形成假山,剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見,需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).
(1)當(dāng)時(shí),求防護(hù)網(wǎng)的總長度;
(2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍,試確定的大小;
(3)為節(jié)省投入資金,人工湖的面積要盡可能小,問如何設(shè)計(jì)施工方案,可使的面積最。孔钚∶娣e是多少?
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【題目】已知標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且經(jīng)過點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合.橢圓的上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),連接、,記直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的值.
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【題目】(本小題共13分)
已知, 或1, ,對(duì)于, 表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)令,存在m個(gè),使得,寫出m的值;
(Ⅱ)令,若,求證: ;
(Ⅲ)令,若,求所有之和.
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【題目】【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)曲線的一個(gè)焦點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于,直線交拋物線于點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)求證:直線過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線交于兩點(diǎn),若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,求的值.
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