Question

13．如圖所示，在長方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為AC的中點．
（1）化簡：$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）設E是棱DD₁上的點，且$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，若$\overrightarrow{EO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，試求實數(shù)x，y，z的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算法則，對（1）式進行化簡，對（2）式進行線性表示即可．

解答 解：在長方體體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為AC的中點；
（1）$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$-$\overrightarrow{AO}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}O}$+$\overrightarrow{OA}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$；
（2）∵E是棱DD₁上的點，且$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DE}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{DD}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{EO}$=-$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$；
又$\overrightarrow{EO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了空間向量的線性表示與運算問題，也考查了數(shù)形結合的應用問題，是基礎題目．