Question

5．已知點F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點P，Q，若△PQF₂是以∠Q為直角的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 可設|F₁F₂|=2c，|QF₂|=m，若△PQF₂是構(gòu)成以Q為直角頂點的等腰直角三角形，則|PQ|=|QF₂|=m，|PF₂|=$\sqrt{2}$m，再由雙曲線的定義，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，運用離心率公式計算即可得到．

解答 解：設|QF₂|=m，Q在右支上，
由雙曲線的定義可得，|QF₁|-|QF₂|=2a，
∴|QF₁|=2a+|QF₂|=2a+m，
又|QF₁|=|PQ|+|PF₁|=m+|PF₁|，
∴|PF₁|=2a，又|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=4a，
在等腰直角△PQF₂中，|PF₂|=$\sqrt{2}$m=4a，
解得m=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△F₁QF₂中，|QF₁|²+|QF₂|²=4c²，
即（2a+2$\sqrt{2}$a）²+（2$\sqrt{2}$a）²=4c²，
即c²=（5+2$\sqrt{2}$）a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．
故答案為：$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，靈活運用雙曲線的定義是解題的關鍵．