Question

【題目】已知點(diǎn)A（1，0），圓E：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)B是圓E上任意一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與半徑EB相交于H.

（1）當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡г的方程：

（2）過(guò)點(diǎn)A且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交軌跡г于、兩點(diǎn)，線段OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)使得若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）運(yùn)用垂直平分線定理可得，，可得，由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理求出PQ中點(diǎn)G的坐標(biāo)，得到，得到，求出m的范圍得解.

（1）根據(jù)題意，，

所以,

則,

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡г是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．

設(shè)其方程為，

可知，，，

所以點(diǎn)的軌跡г的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，聯(lián)立，

得，

由韋達(dá)定理有①，其中△恒成立，

所以PQ的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

所以直線MG的斜率為

因?yàn)?/span>,

所以，

所以，

當(dāng)k=0時(shí)，m=0;

當(dāng)時(shí)，.

綜合得.