Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0（n∈N*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0，利用遞推公式，求出aa₂，a₃，a₄．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： （1）解：由a₁=-

1

2

，且2a_n+1+a_na_n+1+1=0得a₂=-

2

3

，a₃=-

3

4

，a₄=-

4

5

（2）a_n=-

n

n+1

．
證明：①n=1時(shí)，結(jié)論成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=-

k

k+1

，
則n=k+1時(shí)，由2a_k+1+a_ka_k+1+1=0，
得：a_k+1=-

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，即n=k+1時(shí)等式也成立，
由①②可知a_n=-

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．