Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（2c-a）cosB=bcosA，且b=6，若△ABC的兩條中線AE，CF，相交于點D，則四邊形BEDF面積的最大值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得2sinCcosB=sinC，由sinC≠0，可求cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理及基本不等式可得ac≤36，可求三角形ABC的面積的最大值，利用重心的性質(zhì)即可得解S_{四邊形BEDF}的最大值．

解答 解：∵（2c-a）cosB=bcosA，
∴（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA，
∴2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得：36=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$，可得：36=a²+c²-ac≥ac，即：ac≤36，
如圖所示，D為△ABC的重心．
∴S_{四邊形BEDF}=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{12}$ac≤3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，三角形面積公式，三角形重心的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．