Question

10．已知{a_n}的通項公式為a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，則前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，∴a_2k-1+a_2k=-（2k-1）+2^2k-1+2k+2^2k=1+$\frac{3}{2}×{2}^{2k}$．當n為偶數(shù)時，則前n項和S_n=S_2k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k），再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．當n為奇數(shù)時，則前n項和S_n=S_2k-2+a_n．

解答 解：∵a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，
∴a_2k-1+a_2k=-（2k-1）+2^2k-1+2k+2^2k=1+$\frac{3}{2}×{2}^{2k}$．
當n為偶數(shù)時，則前n項和S_n=S_2k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=k+$\frac{3}{2}$×$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=$\frac{n}{2}$+2（4^k-1）=$\frac{n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．
當n為奇數(shù)時，則前n項和S_n=S_2k-2+a_n=$\frac{n-1}{2}$+2ⁿ-2-n+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n+1}{2}$．
綜上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．