Question

1．求適合下列各條件的直線的方程：
（1）自點(diǎn)P（-3，3）發(fā)出的光線射到x軸上，被x軸反射，其反射光線與⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1相切；
（2）直線過定點(diǎn)P（5，10）且與原點(diǎn)的距離為5．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P（-3，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（-3，-3），設(shè)反射光線所在直線方程為：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0．利用直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
（2）斜率不存在時(shí)，直線x=5滿足條件．斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0．由題意可得：$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解出即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)P（-3，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（-3，-3），
設(shè)反射光線所在直線方程為：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0．
∵反射光線與⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1相切，
∴$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$．
∴反射光線所在的直線為：$\frac{4}{3}$x-y+$3×\frac{4}{3}$-3=0，或$\frac{3}{4}x-y+3×\frac{3}{4}$-3=0，
化為：4x-3y+3=0，或3x-4y-3=0．
（2）斜率不存在時(shí)，直線x=5滿足條件．
斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0．
由題意可得：$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得：k=$\frac{3}{4}$．∴直線的方程為：$\frac{3}{4}$x-y+10-5×$\frac{3}{4}$=0，解得3x-4y+25=0．
綜上可得：所求的直線方程為：x=5或3x-4y+25=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的方程、對(duì)稱性、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．