Question

20．方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲線C，給出以下命題：
①曲線C不可能為圓；
②若1＜t＜4，則曲線C為橢圓；
③若曲線C為雙曲線，則t＜1或t＞4；
④若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜t＜$\frac{5}{2}$．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①當(dāng)4-t=t-1＞0，即t=$\frac{5}{2}$時(shí)，曲線C表示圓；
②若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解出即可得出曲線C為橢圓；
③若曲線C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，解出即可判斷出；
④若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4-t＞t-1＞0．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲線C，以下命題：
①當(dāng)4-t=t-1＞0，即t=$\frac{5}{2}$時(shí)，曲線C表示圓，因此不正確；
②若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠$\frac{5}{2}$，則曲線C為橢圓，因此不正確；
③若曲線C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正確；
④若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜$\frac{5}{2}$，正確．
綜上可得真命題為：③④．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想方法，考查了橢圓雙曲線圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．