Question

16．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點P（$\sqrt{6}$，1），O為坐標原點，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率及過點P（$\sqrt{6}$，1），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（2）假設存在這樣的圓，設該圓的切線為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質，結合已知條件能求出|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點P（$\sqrt{6}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）假設存在這樣的圓，設該圓的切線為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
y1y2=（ kx1+m ） （ kx2+m ）=k2x1x2+km （ x1+x2）+m2=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，∴3m²-8k²-8=0，∴k2=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$≥0
又 8k²-m²+4＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＞2}\\{3{m}^{2}≥8}\end{array}\right.$，∴m²≥$\frac{8}{3}$，∴m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又y=kx+m與圓心在原點的圓相切，
∴r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{1+\frac{3{m}^{2}-8}{8}}$=$\frac{8}{3}$，r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴所求圓：x2+y2=$\frac{8}{3}$，
當切線斜率不存在時，切線為x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
滿足OA⊥OB，
綜上：存在這樣的圓x2+y2=$\frac{8}{3}$滿足條件，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{32（4{k}^{4}+5{k}^{2}+1）}{3（4{k}^{4}+4{k}^{2}+1）}}$=$\sqrt{\frac{32}{3}（1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}）}$，
當k≠0時，|AB|=$\sqrt{\frac{32}{3}（1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}）}$，
∴$\frac{4\sqrt{6}}{3}＜$|AB|$≤2\sqrt{3}$（當k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號）
當k=0時，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
當k不存時，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴|AB|∈[$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷及弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、圓的性質、橢圓性質的合理運用．