Question

11．設(shè)點(diǎn)A₁，A₂分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右頂點(diǎn)，若在橢圓C上存在異于點(diǎn)A₁，A₂的點(diǎn)P，使得PO⊥PA₂，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由PO⊥PA₂，可得 y²=ax-x²＞0，故  0＜x＜a，代入橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，結(jié)合圖形，求出橢圓的離心率e的范圍．

解答 解：∵A₁（-a，0），A₂（a，0），設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{PO}$=（-x，-y），$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=（a-x，-y），
∵PO⊥PA₂，∴$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{A}_{2}}$=（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，
∴0＜x＜a．代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，
∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，
如圖：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴對稱軸滿足 0＜-$\frac{{a}^{3}}{2（^{2}-{a}^{2}）}$＜a，即 0＜$\frac{{{a}^{3}}_{\;}}{2（{a}^{2}-^{2}）}$＜a，
∴$\frac{{a}^{2}}{2{c}^{2}}$＜1，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，又 0＜$\frac{c}{a}$＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜1． 
故答案為：$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

點(diǎn)評 本題考查兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個向量的數(shù)量積公式，一元二次方程在一個區(qū)間上有實數(shù)根的條件，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．