Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)
（1）求常數(shù)a的值
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函數(shù)解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，由解析式形式知f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，由定義證明即可；
（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0
∴

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0，解得a=

1

2

，
（2）由（1）得f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下
任取x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

，
當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0，2x₂-2x₁＞0，
所以

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

，＞0，有f（x₁）-f（x₂）＞0；
當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0）時，2x₁-1＜0，2x₂-1＜0，2x₂-2x₁＞0，
所以

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

＞0，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
 綜上知，函數(shù)f（x）在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)；
（3）2^x→0時，f（x）→-

1

2

，2^x小于1趨向于1時，f（x）→-∞，
2^x→+∞時，f（x）→

1

2

，2^x大于1趨向于1時，f（x）→+∞，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法，解題的關(guān)鍵是理解奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明方法，本題的重點(diǎn)是單調(diào)性的證明，其中判斷符號是難點(diǎn)．