【題目】設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)若 ,求f(x)的極值;
(Ⅱ)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)定義域?yàn)閤∈(0,+∞). 當(dāng) 時(shí), 且f'(1)=0.
令h(x)=﹣x+1﹣lnx,則 ,
故h(x)在定義域上是減函數(shù),
注意到h(1)=0,
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>h(1)=0,此時(shí)f'(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<h(1)=0,此時(shí)f'(x)<0.
∴f(x)的極大值為f(1)=0,無極小值.
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)= ≥0,
故2a≥ ,
,
,
由g'(x)>0得x∈(0,e2),
由g'(x)<0得x∈(e2 , +∞),
故g(x)的最大值為 ,
∴2a≥ ,a≥ e2
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)到底是,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為2a≥ ,令 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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