Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₁=1，S₃=6，則

n

Sn+8

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由S₁=1，S₃=6聯(lián)立方程組求出a₁，d，進(jìn)一步求出等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，代入

n

Sn+8

后整理，最后利用基本不等式求最值．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由S₁=1，S₃=6，得：

a1=1 3a1+3d=6

，解得：

a1=1 d=1

．
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n+

n2-n

2

=

n(n+1)

2

．
∴

n

Sn+8

=

n

n2+n 2 +8

=

2n

n2+n+16

=

2

n+ 16 n +1

≤

2

2 n• 16 n +1

=

2

9

．
當(dāng)且僅當(dāng)n=

16

n

，即n=4時上式取等號．
故答案為：

2

9

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中低檔題．