Question

已知橢圓C的離心率e=

2

2

，長軸的左右端點(diǎn)分別為A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+b與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q．求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N（1，0）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率e=

2

2

，長軸的左右端點(diǎn)分別為A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+b與曲線C聯(lián)立，消去y，利用曲線C與直線l只有一個公共點(diǎn)，得△=0，可得b²=2k²+1，求出P，Q的坐標(biāo)，證明

PN

•

QN

=1+

2k

b

-

2k

b

-1=0，可得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∴c=1，b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵曲線C與直線l只有一個公共點(diǎn)，∴△=0，
可得b²=2k²+1（*），
設(shè)P（x_P，y_P），
∴xP=

-4kb

2(2k2+1)

=-

2k

b

，yP=kxP+b=

1

b

，∴P(-

2k

b

，

1

b

)．
又由

y=kx+b x=2

，∴Q（2，2k+b），
∵N（1，0），∴

PN

=(1+

2k

b

，-

1

b

)，

NQ

=(1，2k+b)
∴

PN

•

QN

=1+

2k

b

-

2k

b

-1=0，∴PN⊥QN，
∴以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N（1，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓方程、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．