Question

17．已知f（x） 是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，如果直線y=x+a與曲線y=f（x） 恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [2k，2k+$\frac{1}{4}$]（k∈Z）
• B． （2k-$\frac{1}{4}$，2k）（k∈Z）
• C． （2k-$\frac{1}{2}$，2k）（k∈Z）
• D． （2k，2k+$\frac{1}{4}$）（k∈Z）

Answer 1

分析 根據函數(shù)的奇偶性先求出在一個周期[-1，1]內的表達式，作出函數(shù)f（x）與直線y=x+a的圖象，根據兩個函數(shù)恰好有3個不同的交點，利用數(shù)形結合建立不等式關系進行求解．

解答 解：∵f（x） 是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴若-1≤x≤0，則0≤-x≤1，則f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
即-1≤x≤1時，f（x）=x²，
∴x∈[2k-1，2k+1]，f（x）=（x-2k）²其圖象如圖所示
由于直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個周期[-1，1]上，
a=0時直線y=x經過點A（1，1）時，直線與曲線只有2個交點，
當直線y=x+a與y=x²，在（0，1）內相切時，
有兩個交點，
此時x²=x+a，即x²-x-a=0，
判別式△=1+4a=0，得a=-$\frac{1}{4}$時，
則在一個周期[-1，1]內，要使兩個函數(shù)有3個交點，在滿足-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
由于函數(shù)的周期是2k，
∴在定義域內，滿足條件的a 應是（2k-$\frac{1}{4}$，2k），k∈Z．
故選：B．

點評 本題主要考查根的個數(shù)的應用，考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)判斷，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．