Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx
（1）當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a，b的值代入，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將a，b的值代入函數(shù)的表達(dá)式，問題轉(zhuǎn)化為只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一實(shí)數(shù)解，求出函數(shù)y=g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
令f′（x）=0，解得：x=1或x=-2（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程的根．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx得mx=lnx+x，
又因?yàn)閤＞0，所以m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一實(shí)數(shù)解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$（x＞0），∴g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
由g′（x）＞0，得：0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
所以g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e²]上是減函數(shù)，
g（1）=1+$\frac{ln1}{1}$=1，g（e²）=1+$\frac{l{ne}^{2}}{{e}^{2}}$=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，
g（e）=1+$\frac{lne}{e}$=1+$\frac{1}{e}$，
所以m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．