【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1處有極值10.
(1)求a、b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求f(x)在[0,4]上的最大值與最小值.

【答案】解:(1)由f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,
得a=4,或a=﹣3
∵a>0,∴a=4,
b=﹣11(經(jīng)檢驗(yàn)符合)
(2)f(x)=x3+4x2﹣11x+16,f'(x)=3x2+8x﹣11,
由f′(x)=0得,x2=1
所以令f′(x)>0得;令
所以f(x)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知:f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(1,4)上單調(diào)遞增,
又因?yàn)閒(0)=16,f(1)=10,f(4)=100,
所以f(x)的最大值為100,最小值為1020.
【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0;f(x)在1處的值為10,列出方程組求出a,b的值.
(2)令導(dǎo)函數(shù)大于0求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;令導(dǎo)函數(shù)小于0求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)利用(2)得到f(x)在[0,4]上的單調(diào)性,求出f(x)在[0,4]上的最值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為( 。
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽,最小正周期為3π的函數(shù),且在區(qū)間(﹣π,2π]上的表達(dá)式為f(x)= ,則f(﹣ )+f( )=(
A.
B.﹣
C.1
D.﹣1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓:+=1,左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若AF2+BF2的最大值為5,則橢圓方程為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐S﹣ABCD中,SA⊥面ABCD,若四邊形ABCD為邊長為2的正方形,SA=3,則此四棱錐外接球的表面積為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)F1 , F2分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn),點(diǎn)B是直線AF2與橢圓C的另一交點(diǎn),且滿足AF1⊥x軸,∠AF2F1=30°.
(1)求橢圓C的離心率e;
(2)若△ABF1的周長為4 , 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)若△ABF1的面積為8 , 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列),若為等比數(shù)列,則稱具有性質(zhì).

(1)若數(shù)列具有性質(zhì),且,求、的值;

(2)若,求證:數(shù)列具有性質(zhì)

(3)設(shè),數(shù)列具有性質(zhì),其中,若,求正整數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù), 的值;

(Ⅱ)若, , , ,試判斷 , 三者是否有確定的大小關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5=0.求:
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)直線BC的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案