Question

10．如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于點(diǎn)B，CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D、E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：PB•CB=CD•EF；
（2）若CP=3，CB=2$\sqrt{2}$，求△CEF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用Rt△CBP和Rt△CEF相似、切割線定理，即可證明結(jié)論；
（2）求出CE，EF，可得△CEF的面積．

解答 （1）證明：由題意Rt△CBP和Rt△CEF相似可得$\frac{PB}{EF}=\frac{CB}{CE}$．
∵⊙O的弦BC切⊙P于點(diǎn)B，∴CB²=CD•CE，∴$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{PB}{EF}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴PB•CB=CD•EF；
（2）解：設(shè)⊙P 的半徑為 r，由（1）可得8=（3-r）（3+r），
∴r=1，∴CE=4
∵PB=$\sqrt{9-8}$=1，
∴$\frac{1}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{4}$，
∴EF=$\sqrt{2}$，
∴△CEF的面積S=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理的應(yīng)用，三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，考查切割線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．