Question

6．已知直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=2經(jīng)過點(diǎn)P（cosa，sina），（a∈R），則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$的最小值等于4．

Answer 1

分析 由題意，P在圓x²+y²=1上，P又在直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=2上，所以直線和圓是相交或相切，可得2×$\frac{|ab|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$≤1，兩邊平方，取倒數(shù)，即可求出$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$的最小值．

解答 解：由題意，P在圓x²+y²=1上，P又在直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=2上，
所以直線和圓是相交或相切，
所以圓心（0，0）到直線bx+ay-2ab=0的距離2×$\frac{|ab|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$≤1，
所以$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥4，
所以$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$的最小值等于4．

點(diǎn)評 本題考查$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$的最小值，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定P在圓x²+y²=1上，P又在直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=2上是關(guān)鍵．