Question

12．已知等差數列{a_n}的前5項的和為55，且a₆+a₇=36．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$，且數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由等差數列通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂項求和法能求出數列{b_n}的前n項和，再由不等式的性質即可得證．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由前5項的和為55，且a₆+a₇=36，
可得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d=55}\\{2{a}_{1}+11d=36}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=2，
則數列{a_n}的通項公式a_n=7+（n-1）×2=2n+5；
（2）證明：b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
可得數列{b_n}的前n項和：
S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
即有原不等式成立．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．