Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)的和為55，且a₆+a₇=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由前5項(xiàng)的和為55，且a₆+a₇=36，
可得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d=55}\\{2{a}_{1}+11d=36}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=7+（n-1）×2=2n+5；
（2）證明：b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-5）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{4}{2n•（2n+4）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
即有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．