Question

4．已知關(guān)于x的不等式1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$＜0（a∈R）在（1，+∞）上恒成立．
（1）記a的最小值為a′，求f（x）=a′x²+lnx在（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$，求出導數(shù)，討論a≤0，a≥2，0＜a＜2，運用單調(diào)性可得a的最小值為2，求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程．

解答 解：設(shè)g（x）=1nx-$\frac{a（x-1）}{2}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2-ax}{2x}$，x＞1．
①若a≤0，則g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上遞增，
即有g(shù)（x）＞g（1）=0，不滿足題意；
②若a≥2，即$\frac{2}{a}$≤1，x∈（1，+∞）時，g（x）遞減，
g（x）＜g（1）=0，合題意；
③若0＜a＜2，即$\frac{2}{a}$＞1，x∈（1，$\frac{2}{a}$）時，g（x）遞增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）遞減，
g（x）＞g（1）=0，不合題意．
綜上，a的最小值a'=2，f（x）=2x²+lnx，
f（x）的導數(shù)為f′（x）=4x+$\frac{1}{x}$，
即有f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為5，切點為（1，2），
則f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2=5（x-1），
即為y=5x-3．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用導數(shù)，判斷單調(diào)性，同時考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．