Question

12．已知O是正三角形ABC內部的一點，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△OAC的面積與△OAB的面積之比為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 對所給的向量等式進行變形，根據變化后的條件對兩個三角形的面積進行探究

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則變?yōu)?\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，如圖D，E分別是對應邊的中點
由平行四邊形法則知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，$2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$
故$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$
由于三角形ABC是等邊三角形，
故S△AOC=$\frac{2}{3}$S△ADC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC
又D，E是中點，故O到AB的距離是正三角形ABC高的一半
所以S△AOB=$\frac{1}{2}$×S△ABC
∴△OAC的面積與△OAB的面積之比為$\frac{2}{3}$；
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義，本題中把兩個三角形的面積都用三角形ABC的面積表示出來．