Question

17．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}$=1，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2$\sqrt{16xy}$，解關(guān)于xy的不等式可得；
（2）由題意可得x+y=（x+y）•（$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$）=10+$\frac{2x}{y}$+$\frac{8y}{x}$，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}$=1，
∴xy=2x+8y≥2$\sqrt{16xy}$
即xy≥8$\sqrt{xy}$，∴$\sqrt{xy}$≥8，
平方可得xy≥64，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y即x=16，y=4時(shí)，“=”成立，
∴xy的最小值為64；
（2）∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$=1．
∴x+y=（x+y）•（$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$）=10+$\frac{2x}{y}$+$\frac{8y}{x}$≥10+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{8y}{x}}$=18，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2x}{y}$=$\frac{8y}{x}$，即x=2y=12時(shí)“=”成立．
∴x+y的最小值為18

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．