Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD．AD⊥CD，CD=2AB=2AD=4，側(cè)面PAD為正三角形，AB⊥PA．
（1）求點D到平面PAB的距離；
（2）求證：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點E，連接DE，運用等邊三角形和線面垂直的判定定理，即可得到DE⊥平面PAB，計算即可得到所求；
（2）取PC的中點F，連接BF，DF，BD，通過線面垂直的判定和性質(zhì)，計算即可得到BF⊥DF，又PC⊥BF，即有BF⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 解：（1）取PA的中點E，連接DE，
由等邊三角形PAD可得DE=$\sqrt{3}$，DE⊥PA，
又AB⊥PA，CD∥AB，AD⊥CD，
則AB⊥AD，
即有AB⊥平面PAD，
則AB⊥DE，
又DE⊥PA，即有DE⊥平面PAB，
則點D到平面PAB的距離為DE=$\sqrt{3}$；
（2）取PC的中點F，連接BF，DF，BD，
在直角梯形ABCD中，CD=2AB=2AD=4，
可得BC=2$\sqrt{2}$，
在直角三角形PAB中，PB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
即有BF⊥PC，在△BDF中，BD=2$\sqrt{2}$，DF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+16}$=$\sqrt{5}$，
BF=$\sqrt{8-5}$=$\sqrt{3}$，
由BD²=BF²+DF²，可得BF⊥DF，
又PC⊥BF，
即有BF⊥平面PCD，
由BF?平面PBC，
可得平面PBC⊥平面PCD．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查面面垂直的判定定理，考查空間直線和平面的位置關系，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．