Question

14．已知x=1是函數(shù)f（x）=1+（1-x）ln（kx）的極值點(diǎn)，e自然對(duì)數(shù)底數(shù)．
（Ⅰ）求k值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在m∈（1，+∞），使得當(dāng)a＞m時(shí)，不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)$f'（x）=-ln（kx）+\frac{1-x}{x}$，從而令f′（1）=0解得k=1；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna可以化為$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{{e^{a+x}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，設(shè)$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，則h（a+x）＜h（a），即判斷是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是減函數(shù)，從而求導(dǎo)$h'（x）=\frac{1+（1-x）lnx}{e^x}=\frac{f（x）}{e^x}$，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性．從而說(shuō)明m值存在．

解答 解：（I）$f'（x）=-ln（kx）+\frac{1-x}{x}$，
由題意f′（1）=0，得k=1；
此時(shí)f（x）=1+（1-x）lnx，定義域是（0，+∞），
令$g（x）=f'（x）=-lnx+\frac{1-x}{x}$，
$g'（x）=-\frac{x+1}{x^2}$，
∵g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，且g（1）=0，
因此當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）=g（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）=g（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna可以化為$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{{e^{a+x}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，
設(shè)$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，則h（a+x）＜h（a），
即判斷是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是減函數(shù)，
∵$h'（x）=\frac{1+（1-x）lnx}{e^x}=\frac{f（x）}{e^x}$，
∵$f（\frac{1}{e^2}）=\frac{{2-{e^2}}}{e^2}＜0$，f（1）=1＞0，f（e）=2-e＜0，
∴h′（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為x₁和x₂，列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↓	極小	↑	極大	↓

∴h（x）在（x₁，x₂）是增函數(shù)，在（x₂，+∞）是減函數(shù)，
∵x₂∈（1，+∞），
∴存在這樣的m值，且m=x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，注意“當(dāng)a＞m時(shí)，不等式h（a+x）＜h（a）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立”這句話符合必修1中函數(shù)單調(diào)性定義，證明h（x）在（m，+∞）是減函數(shù)即可，屬于中檔題．