Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是夾角為60°的兩個單位向量，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$$+λ\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow$．
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）求向量$\overrightarrow{c}$的模|$\overrightarrow{c}$|．

Answer 1

分析 （1）$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow|$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，由于$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$$+λ\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=0．展開解出即可得出．
（2）利用$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}{\overrightarrow}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow|$=1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$$+λ\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$λ{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}+λ$=0．
解得$λ=-\frac{1}{2}$．
（2）$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、單位向量，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．