Question

16．已知橢圓E的中心在原點，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦點到直線x+y+$\sqrt{2}$=0的距離為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）橢圓下頂點為A，直線y=kx+m（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點M、N，當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用右焦點到直線x+y+$\sqrt{2}$=0的距離為2，建立方程求出c，利用離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出a，可得b，即可求橢圓E的方程；
（2）設弦MN的中點為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用直線與橢圓有兩個不同的交點，得到△＞0，可得m²＜3k²+1，通過|AM|=|AN|，判斷AM⊥AN，得到2m=3k²+1，然后求得m的取值范圍．

解答 解：（1）設橢圓的右焦點為（c，0），依題意有$\frac{|c+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2
又c＞0，得c=$\sqrt{2}$                   …（2分）
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$         …（3分）
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1                 …（4分）
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1    …（5分）
（2）橢圓下頂點為A（0，-1），
設弦MN的中點為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，
由直線與橢圓方程消去y，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，所以
∴△＞0，即m²＜3k²+1    ①…（7分）
x_p=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，從而y_p=kx_p+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，k_AP=$\frac{{y}_{P}+1}{{x}_{P}}$=-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$…（9分）
又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，則-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1 ②，…（10分）
將②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$，
故所求的m取值范圍是（$\frac{1}{2}$，2）．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，求解范圍問題，一般通過含變量一個方程與一個不等式的關系求解．