Question

7．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，其中函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，恒有f_K（x）=f（x），則（　　）

• A． K的最大值為$\frac{1}{e}$
• B． K最小值為$\frac{1}{e}$
• C． K的最大值為2
• D． K的最小值為2

Answer 1

分析 由已知條件可得k≥f（x）_max，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍，進(jìn)一步得出所要的結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，
∴等價為K≥f（x）_max，
∵f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-（lnx+1）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，
則g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即$\frac{1}{x}$-lnx-1=0，
解出x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=1時，f（x）取到極大值同時也是最大值f（1）=$\frac{ln1+1}{e}$=$\frac{1}{e}$．
故當(dāng)k≥$\frac{1}{e}$時，恒有f_k（x）=f（x）
因此K的最小值為$\frac{1}{e}$．
故選：B．

點評 本題考查與函數(shù)有關(guān)的新定義題目，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．