【題目】已知函數(shù), .

)求證:當(dāng)時(shí),

)若函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】)見(jiàn)解析((01)

【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),得,分析單調(diào)性得當(dāng)時(shí), 即得證;(Ⅱ對(duì)t進(jìn)行討論①, [1,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí), ,所以(1,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),②若, [1,+∞)上是減函數(shù),所以當(dāng)時(shí), ,所以(1,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),③若0<t<1時(shí)分析單調(diào)性借助于第一問(wèn),找到,則當(dāng)時(shí),即成立;取,則當(dāng)時(shí), ,即,說(shuō)明存在,使得,即存在唯一零點(diǎn);

試題解析:(Ⅰ)由,得

當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表:

x

(0,4)

4

(4,+∞)

+

0

-

所以當(dāng)時(shí), ;

①若,則當(dāng)時(shí), ,所以[1,+∞)上是增函數(shù),

所以當(dāng)時(shí), ,所以(1,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),所以不滿足條件.

②若,則當(dāng)時(shí), ,所以[1,+∞)上是減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí), ,所以(1,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),所以不滿足條件.

③若0<t<1,則由,得

當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表:

,則當(dāng)時(shí),即成立;

由(Ⅰ)知當(dāng)時(shí), ,即成立,所以取,則當(dāng)時(shí), ,從而 ,即,這說(shuō)明存在,使得,

結(jié)合上表可知此時(shí)函數(shù)(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),所以0<t<1滿足條件.

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為(0,1).

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1)將表示為的函數(shù);

2)試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。

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表1:甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

[95,100)

[100,105)

[105,110)

[110,115)

[115,120)

[120,125]

頻數(shù)

1

5

18

19

6

1

圖1:乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖

(Ⅰ)將頻率視為概率. 若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則其中的不合格品約有多少件;

(Ⅱ)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān);

甲套設(shè)備

乙套設(shè)備

合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

(Ⅲ)根據(jù)表1和圖1,對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附:

.

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(2)求四面體的體積.

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A. B.

C. D.

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對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m0;

對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n0;

對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1x2,使得mn

對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1x2,使得m=-n.

其中真命題有___________________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

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