Question

【題目】已知函數f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對于不相等的實數x1，x2，設m＝，n＝，現有如下命題：

①對于任意不相等的實數x1，x2，都有m＞0；

②對于任意的a及任意不相等的實數x1，x2，都有n＞0；

③對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝n；

④對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝－n.

其中真命題有___________________（寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

【答案】①④

【解析】對于①，因為f '（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正確

對于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，當x1，x2＜4時n＜0，②錯誤

對于③，令f '（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a

記h（x）＝2xln2－2x，則h'（x）＝2x（ln2）2－2

存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函數h（x）先減后增，有最小值.

因此，對任意的a，m＝n不一定成立.③錯誤

對于④，由f '（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a

令h（x）＝2xln2＋2x，則h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，

即h（x）是單調遞增函數，

當x→＋∞時，h（x）→＋∞

當x→－∞時，h（x）→－∞

因此對任意的a，存在y＝a與函數h（x）有交點.④正確