【題目】如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點在五棱錐PABCDE,F為棱PE的中點平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.

(1)求證ABFG

(2)PA⊥底面ABCDE,PAAE.求直線BC與平面ABF所成角的大小并求線段PH的長

【答案】(1)詳見解析(2)點H的坐標為()PH2.

【解析】試題分析:1)運用線面平行的判定定理和性質定理即可證得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE為正方形,建立如圖的空間直角坐標系Axyz,分別求出A,BC,E,P,F,及向量BC的坐標,設平面ABF的法向量為n=xy,z),求出一個值,設直線BC與平面ABF所成的角為α,運用sinα=|cosn |,求出角α;設Huv,w),再設 (0λ1),用λ表示H的坐標,再由n =0,求出λ和H的坐標,再運用空間兩點的距離公式求出PH的長.

試題解析:

(1)在正方形AMDE中,因為BAM的中點,所以ABDE.

又因為AB平面PDE,所以AB∥平面PDE.

因為AB平面ABF,且平面ABF平面PDEFC,

所以ABFG.

(2)因為PA⊥底面ABCDE,所以PAAB,PAAE.

如圖建立空間直角坐標系Axyz

A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).

設平面ABF的法向量為n=(xy,z),則

z=1,則y=-1.所以n=(0,-1,1).

設直線BC與平面ABF所成角為α,則

sinα=|cos<n, >|=||=.

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.

設點H的坐標為(u,v,w).

因為點H在棱PC上,所以可設λ (0<λ<1),

(uv,w-2)=λ(2,1,-2),

所以u=2λ,uλ,w=2-2λ.

因為n是平面ABF的法向量,所以n·=0,

(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.

解得λ,所以點H的坐標為(,,).

所以PH=2.

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