Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+alnx
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）過點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率和方程，代入點(diǎn)（1，1）可得m，n的值，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（I）由函數(shù)f（x）=x³+lnx，f（1）=1，
$f'（x）=3{x^2}+\frac{1}{x}$，f'（1）=4，
所以在（1，f（1））處的切線方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0；        
（ II）函數(shù)f（x）=x³，f'（x）=3x²，
設(shè)過（1，1）的直線與曲線相切于（m，n），
則切線方程為y-1=3m²（x-1），
所以$\left\{{\begin{array}{l}{n-1=3{m^2}（m-1）}\\{n={m^3}}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-\frac{1}{8}}\end{array}}\right.$，
所求切線方程為3x-y-2=0，3x-4y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．