Question

13．（1）已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓的方程．
（2）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$）．求雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓方程，利用條件得$\left\{\begin{array}{l}{2a=5+3}\\{4{c}^{2}={5}^{2}-{3}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b²=12，即可求橢圓的方程．
（2）設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，代入點(diǎn)，求出λ，即可求雙曲線方程．

解答 解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），…（2分）
由已知條件得$\left\{\begin{array}{l}{2a=5+3}\\{4{c}^{2}={5}^{2}-{3}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b²=12．…（5分）
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{12}$=1．…（7分）
（2）∵e=$\sqrt{2}$，∴設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ．…（2分）
又∵雙曲線過（4，-$\sqrt{10}$）點(diǎn)，∴λ=16-10=6，…（5分）
∴雙曲線方程為x²-y²=6．…（7分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的方程，考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．